La farfalla e il ciclone

Scritto da  Venerdì, 31 Agosto 2012 13:23
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Un giorno un uomo pensando alla sua amata le scrisse questi versi:

Sei farfalla che in un battito si desta

e nel mio cuore è già tempesta.

Lui non lo sapeva, ma aveva creato una nuova scienza.

(De Toni, Comello, Ioan)

dal libro "Auto-organizzazioni” 

La storia del caos comincia con un’unione d’affetti, ma continua con una congiunzione di effetti.

Continua quando l’effetto farfalla e l’effetto mazzo di carte convolano a nozze. Da questo singolare matrimonio nasce il caos.

Questa è una storia che inizia quando le altre finiscono.

Com’è possibile che il battito d’ali di una farfalla nella foresta dell’Amazzonia provochi un ciclone nel Texas?

L’“effetto farfalla” è diventato il simbolo della teoria del caos e ha costituito il punto di partenza per gli studiosi che si sono occupati di questa nuova scienza.

L’”effetto mazzo di carte” è provocato invece dalla mescolanza topologica delle traiettorie come se un panettiere le avesse impastate.

Quella del caos deterministico è perciò la storia del comportamento erratico, imprevedibile e caotico di alcuni sistemi dinamici; è la storia delle piccole cose che diventano imprevedibilmente grandi; è la storia di attrattori, di repulsori e di biforcazioni catastrofiche che riguardano i sistemi fisici, chimici, biologici, ecologici, economici, sociali, aziendali; è la storia dell’ordine e del disordine che convivono senza alcuna contraddizione; è la storia di un disordine ordinato.

E’ anche la storia di segnali deboli che non vengono percepiti in tempo, o se percepiti vengono volutamente ignorati perché ritenuti di poco conto, trascurabili, ma che invece vengono improvvisamente amplificati da relazioni non lineari che legano tra loro le variabili dei sistemi dinamici provocando disastri irreparabili nelle organizzazioni sociali, economiche e aziendali.

Spero che questa storia possa accendere in chi la legge un piccolo fuoco, una fiammella.

Un piccolo fuoco potrebbe provocare un incendio, ma potrebbe anche salvare la piccola fiammiferaia. Il battito d’ali della farfalla nella foresta dell’Amazzonia potrebbe provocare un ciclone nel Texas, ma potrebbe anche evitare un tornado a Singapore. L’attenzione ai segnali deboli e la conoscenza della loro evoluzione potrebbero anche evitare rivoluzioni sociali: potrebbero anche evitare il crollo e le implosioni delle organizzazioni; potrebbero anche evitare il fallimento di aziende.

Il caos di cui si parla è il cosiddetto “caos deterministico”.

L’espressione “caos deterministico” sembra un ossimoro. Infatti, la parola “caos” significa grande confusione, disordine di cose o anche d’idee o di sentimenti, assenza di regole e imprevedibilità, mentre il termine “deterministico” è relativo al verificarsi di fenomeni necessariamente determinati secondo principî preventivamente formulati. Significa regolarità, prevedibilità e perciò riguarda fenomeni ordinati e pianificabili.

I fautori di questa scienza affermano che il XX secolo sarà ricordato per la relatività, per la meccanica quantistica e per il caos.

La scienza del caos è stata dunque una terza vera rivoluzione scientifica del ‘900 perché, come le altre due, abolisce i dogmi della fisica newtoniana.

Come si espresse il fisico Joseph Ford “la relatività eliminò l’illusione newtoniana dello spazio e tempo assoluti; la teoria quantistica eliminò il sogno newtoniano di un processo di misurazione controllabile; e il caos elimina la fantasia laplaciana della prevedibilità deterministica”.

La storia di questa rivoluzione è raccontata da James Gleick, un giornalista scientifico del New York Times, nel suo libro dal titolo “Chaos”, uscito nel 1987, un best seller di livello mondiale.

A questa rivoluzione ha contribuito notevolmente lo sviluppo di un nuovo strumento: il computer con il quale è stato possibile studiare i sistemi complessi e dinamici attraverso simulazioni e calcoli che fino a poco tempo prima costituivano solo un miraggio. Ricordiamoci che uno dei principali ostacoli allo sviluppo scientifico è stata, in passato, proprio la difficoltà di calcolo.

Sentite cosa scrive lo scrittore americano Michael Crichton nel romanzo Jurassic Park, ben noto anche per la sua versione cinematografica. Uno dei personaggi più importanti di questo libro è un matematico che viene così presentato: “Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i meccanismi del mondo reale. Questi studiosi, sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione d’isolamento dei matematici. Per prima cosa essi si servivano continuamente del computer, cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari, nel campo emergente del cosiddetto caos. Terza cosa, sembravano voler fare tutto il possibile affinché i loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che, di fatto, esisteva nel mondo reale.”

Questo passo permette di rilevare che la teoria del caos e dei sistemi dinamici si sta diffondendo sia nel dibattito culturale, sia nella stampa non specializzata.

Riporto quanto è scritto sulla copertina del libro di Gleick:

“Dove comincia il caos si arresta la scienza classica.

Partendo dal noto effetto farfalla, per il quale il battito delle ali di una farfalla a Pechino scatena un uragano a New York, James Gleick ripercorre la nascita e lo sviluppo della rivoluzionaria teoria del caos. Se per la scienza tradizionale l’aspetto irregolare della natura è sempre stato un rompicapo, a partire dagli anni settanta alcuni studiosi iniziano a sperimentare una via per orientarsi nel disordine, scoprendo connessioni inaspettate tra il battito cardiaco e le migrazioni degli animali, tra gli errori del computer e le oscillazioni dei prezzi.

Superati i confini della scienza ortodossa, la teoria del caos diventa sempre più accreditata, tanto da entrare nell’accademia e da essere annoverata, assieme alla relatività e alla meccanica quantistica tra le grandi rivoluzioni del ventesimo secolo nella fisica.

Da grande divulgatore Gleick alterna a pagine concettuali le eccentriche biografie degli scienziati che hanno applicato il caos alla vita quotidiana, introducendoci a un nuovo modo di osservare il mondo.”

Ma veniamo a noi. Che cos’è un sistema dinamico e come si può generare il caos deterministico?

Un sistema dinamico è composto di un certo numero di grandezze misurabili, dette variabili di stato, che sono una funzione del tempo t.

Queste variabili, all’istante iniziale t determinano un punto nel cosiddetto spazio degli stati che è lo stato iniziale del sistema. Con l’avanzare del tempo il punto si sposta in questo spazio tracciando una traiettoria che rappresenta l’evoluzione del sistema dinamico e che permette perciò di determinare lo stato del sistema a ogni istante di tempo successivo. Il processo è chiaramente ricorsivo, cioè l’output di un istante costituisce l’input dell’istante successivo. Pensate a una somma di denaro (input) che investita a un certo tasso di interesse diventa dopo un anno più grande (output). L’anno successivo questa nuova somma diventa a sua volta input che determinerà un nuovo output ancora più grande, e così via.

Le dinamiche dei modelli non lineari sono o convergenti o divergenti, e in alcuni casi particolari strutturalmente instabili, o di biforcazione, in quanto separano dinamiche qualitativamente diverse: una piccola variazione nei valori di alcuni parametri della funzione porta a traiettorie completamente diverse.

L’andamento di un sistema dinamico è dunque caratterizzato da relazioni non lineari tra le variabili di stato e da una dipendenza sensibile dai valori iniziali.

Laplace (1749-1827), riferendosi alle leggi lineari utilizzate per descrivere il moto dei pianeti scriveva: “Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro”.

Ma Laplace riteneva che una piccola differenza delle condizioni iniziali provocasse altrettante piccole differenze nell’evoluzione del sistema.

Un altro matematico di valore Henry Poincaré (1854-1912), nel 1903 scriveva: “.. se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile (...)”.

Ciò che diceva Laplace è corretto nei sistemi lineari, ma nei modelli non lineari, anche semplici, le traiettorie, pur nell’assenza assoluta di variabili casuali, si avvicinano più a successioni che sembrano dovute a elementi casuali, stocastici, probabilistici. Strano no?

Il genio di Poincaré era troppo avanzato per quei tempi e non destò l’interesse che meritava.

Due articoli diedero un decisivo contributo alla diffusione e alla crescente popolarità in questo campo: un articolo del 1963 del meteorologo americano Edward Lorenz e un articolo del 1976 in cui Robert May, un fisico inglese che studiava modelli per l’ecologia, illustrò con un linguaggio accessibile anche a non specialisti l’insorgere di dinamiche caotiche iterando un polinomio di secondo grado.

Ma veniamo alla storia della farfalla e del ciclone e dell’origine del termine “effetto farfalla”.

Il 16 aprile del 2008 è morto, all’età di 90 anni, Edward Lorenz, matematico e meteorologo del Massachusetts Institute of Technology (MIT) famoso per aver riconosciuto, in un sistema di equazioni differenziali utilizzato come modello per le previsioni del tempo, quello che ora è chiamato “caos deterministico”.

L’espressione “effetto farfalla” (butterfly effect) è apparsa nel titolo di un suo articolo e indica un grande evento provocato da una piccola e insignificante causa.

Nato il 23 maggio 1917 a West Hatford, nel Connecticut (USA), Lorenz si era laureato in matematica a Harvard nel 1940. Aveva partecipato alla seconda guerra mondiale come ufficiale dell’Aeronautica militare, elaborando le previsioni del tempo per i piloti dei bombardieri.

Dopo la guerra, Lorenz si laureò in meteorologia al MIT, dove rimase per il resto della sua attività. Negli ultimi anni ‘50 Lorenz si occupava di modelli per descrivere i movimenti d’aria nell’atmosfera. Elaborava simulazioni meteorologiche servendosi di computer che allora erano piuttosto lenti e la massa di dati da trattare era invece enorme.

Gleick racconta che la scoperta di Lorenz fu un caso fortuito. “Un giorno dell’inverno del 1961, volendo esaminare una fase di elaborazione più lunga, Lorenz prese una scorciatoia. Anziché percorrere l’intero passaggio dal principio, cominciò a esaminarli a metà. Per dare al computer le condizioni iniziali, introdusse i numeri prendendoli direttamente dallo stampato precedente. Poi attraversò la sala per allontanarsi dal rumore e per andare a prendersi un caffè. Quando tornò, un’ora dopo, vide qualcosa di inatteso, qualcosa che stava gettando un seme per una nuova scienza”

La nuova elaborazione avrebbe dovuto duplicare esattamente quella precedente, invece i dati indicavano condizioni meteorologiche notevolmente divergenti. Pensò che fosse un errore del computer. esaminò di nuovo i numeri, pensò a qualche altra possibile causa. Alla fine si rese conto. Per risparmiare spazio aveva introdotto un valore iniziale più breve, arrotondato. Anziché 0,506127 aveva immesso 0,506 supponendo che la differenza di un decimillesimo non avesse alcuna incidenza. Invece si rivelò catastrofica.

Lorenz si rese conto che il fatto era legato alla non linearità delle equazioni e lo scrisse in un articolo dal titolo Deterministic Nonperiodic Flow, comparso nel 1963 nella rivista Journal of the Atmospheric Sciences. Nell’articolo cita sia il francese Henry Poincaré (1854-1912) che l’americano George David Birkhoff (1884–1944), che avevano già studiato questi argomenti.

 

La teoria del caos deterministico ha modificato radicalmente l’approccio alla modellistica matematica in tutte le discipline, comprese quella economica e aziendale.

Oggi sappiamo che non solo i movimenti dell’aria nell’atmosfera e il moto dei pianeti sono caotici, ma è caotico anche il ritmo del nostro cuore.

Nel 1991 Lorenz ottenne il Premio Kyoto per le Scienze della Terra per aver posto le basi teoriche per lo studio della prevedibilità delle condizioni meteorologiche e climatiche e anche le basi per lo studio dell’atmosfera mediante l’uso del computer.

La commissione che gli ha conferito il premio ha poi aggiunto: "ha messo in evidenza il fenomeno del caos deterministico, un principio che ha profondamente influenzato un ampio spettro di discipline scientifiche conducendo al cambiamento più drastico, nella visione delle leggi della natura, dopo quello che scaturì dall’opera di Sir Isaac Newton" .

Nel 1993 Lorenz ha pubblicato il libro The Essence of Chaos.

Ad ogni modo, la metafora dell’effetto farfalla fa parte ormai del nostro linguaggio quotidiano e la incontriamo un po’ dappertutto: nei giornali, nei discorsi e dibattiti politici, nei libri gialli e nei film.

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